Asignaturas obligatorias
Álgebra Lineal I: Conjuntos. Números naturales. Números Complejos. Polinomios. Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices. Determinantes. Matrices Inversibles. Espacios vectoriales R2 y R3. Bases. Cónicas y cuádricas.
Cálculo I: Sucesiones, límites y aproximación. Series numéricas. Límite de funciones continuidad y continuidad uniforme. Derivada y diferencial. Ecuaciones diferenciales de primer orden. Series de potencias. Integración, integrales definidas e impropias.
Lógica: Cálculo proposicional. Cuantificación. Métodos de demostración. Método axiomático. Conjuntos. Algebra de Conjuntos. Relaciones, equivalencia, orden, funciones y operaciones. Cardinalidad.
Cálculo II: Funciones de varias variables. Límites. Continuidad. Derivadas parciales. Diferencial. Extremos. Integrales curvilíneas. Integrales múltiples. Ecuaciones diferenciales.
Introducción al Álgebra: Números reales. Números naturales. Principio de inducción, principio de buena ordenación. Números enteros. Algoritmo de Euclides. Teorema fundamental de la aritmética. Congruencias, enteros módulo n. Números racionales. Estructuras.
Álgebra Lineal II: Espacios vectoriales. Generadores. Bases. Espacio dual. Espacios vectoriales con producto interno. Bases ortonormales. Método de Gram-Schmidt. Autovalores y autovectores. Polinomio característico y minimal. Formas normales. Operadores en espacios con producto interno.
Física I: Cinemática lineal y plana. Dinámica. Trabajo y energía. Sistemas de partículas. Cuerpo rígido. Oscilaciones. Hidrostática e hidrodinámica.
Cálculo III: Diferenciación en Rn. Teorema del valor medio. Teorema de la función inversa. Teorema de la función implícita. Aplicaciones. Serie de Taylor. Aproximación de funciones. Introducción a la integral de Steiltjes. Teoremas de Green y Stokes. Serie de Fourier. Transformada de Fourier.
Probabilidades y Estadística: Probabilidad. Probabilidad Condicional. Variables aleatorias. Distribuciones discretas y continuas. Momentos. Función generadora. Ley de los grandes números. Tipos de convergencias. Teorema Central del Límite. Estimación puntual. Intervalos de confianza. Propiedades de los estimadores. Estimación por intervalos. Prueba de Hipótesis.
Geometría: Geometría métrica. Espacio afín. Grupo afín. Espacio euclídeo. Grupo euclídeo. Semejanzas. Espacio proyectivo. Grupo proyectivo. Cónicas y cuádricas. Grupos de matrices. Grupos de poliedros. Construcciones con regla y compás.
Estructuras Algebraicas: Grupos: Grupos cíclicos. Grupo simétrico, alternado y diedral etc. Producto directo y Teoremas de Sylow. Anillos y cuerpos: Dominios euclideanos, de ideales principales y de factorización única. Módulos. Suma y producto directo, módulos libres y de torsión. Divisibilidad. Módulos finitamente generados y de torsión sobre dominios ideales principales: teorema de estructura.
Geometría Diferencial I: Curvas en Rn. Longitud de arco. Curvatura. Torsión. Triedro de Frenet. Superficies regulares. Mapas. Superficies de revolución. Primera forma fundamental. Vectores normales. Orientación. Aplicación normal de Gauss. Segunda forma fundamental. Curvaturas y direcciones principales. Línea de curvatura. Geodésicas.
Modelización: Escalado y argumentos dimensionales. Optimización. Programación lineal. Teoría de juegos. Series de tiempo. Procesos de Markov. Métodos de Montecarlo. Argumentos de estabilidad discretos y continuos. Sistemas dinámicos.
Espacios Métricos y Topológicos: Sucesiones en espacios métricos. Conjuntos abiertos y cerrados. Topologías. Conjuntos densos. Aplicaciones continuas. Homeomorfismos. Producto. Cociente. Conjuntos conexos. Espacios separables. Espacios completos: teorema de Baire, principio de las aplicaciones contraídas, aplicaciones, completamiento de un espacio métrico. Espacios compactos: compacidad y acotación total, compacidad relativa, teorema de Arzelá-Ascoli, teorema de aproximación de Weierstrass. Espacios normales. Teoremas de extensión de funciones continuas. Paracompacidad. Partición de la unidad. Espacios completamente regulares. Metrización. Introducción al grupo fundamental.
Métodos Numéricos: Teoría del error. Aproximación de funciones por interpolación. Aproximación de funciones por el método de mínimos cuadrados. Métodos de integración numérica. Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Resolución de ecuaciones no lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos numéricos para el cálculo de autovectores y autovalores matriciales.
Variable Compleja: Topología del plano complejo. Función holomorfa. Series de potencias. Fórmulas de Cauchy. Teorema de Taylor. Principio de prolongación analítica. Funciones armónicas. Singularidades. Desarrollo de Laurent. Transformaciones conformes. Funciones especiales. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
Ecuaciones Diferenciales: Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y segundo orden. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Problemas de difusión. Problemas de tipo hiperbólico y de tipo elíptico.
Medida e Integración: Conjuntos y funciones medibles. Espacios de medida. Integral de Lebesgue. Teorema de la convergencia monótona, lema de Fatou, teorema de la convergencia dominada. Espacios LP. Modos de convergencia. Construcción de medidas; teorema de Caratheodory, Teorema de extensión de Kolmogorov, Medida de Lebesgue en R y Rn. Integral de Lebesgue-Stieltjes. Descomposición de medidas: teorema de Radon-Nikodym. Medida producto: teorema de Fubini. Diferenciación. Aplicaciones a las probabilidades y al análisis.
Análisis Funcional: Espacios Normados. Espacios de Banach. Espacio dual, Topología débil. Espacios de Hilbert, Álgebra de operadores. Teoría espectral. Operadores integrales.
Geometría Diferencial II: Teorema de la función inversa e implícita. Variedades diferenciables. Espacio tangente. Espacios tensoriales. Campos y tensores. Derivada de Lie. Derivada covariante. Teoría de integración de formas. Teorema de Stokes.
Asignaturas optativas
Álgebra Homológica (118): Conjuntos simpliciales. Categorías y funtores. Equivalencias de categorías. Equivalencias de Morita. Funtores representables. Funtores adjuntos. Teorema de Watts. Resoluciones Proyectiva e inyectiva, Funtores de homología. Funtores derivados. Funtores Ext y Tor. Sucesiones exactas cortas y extensiones. Dimensiones homológicas de módulos y anillos.
Teoría de Números y Criptografía (148): Números enteros, divisibilidad, Algoritmo de Euclides, congruencias, Teorema de Euler-Fermat, Teorema Chino del Resto. Cuerpos Finitos, símbolos cuadráticos y reciprocidad cuadrática. Criptografía: introducción, métodos simples de encriptación, criptoanálisis. Métodos de clave pública: RSA, Logaritmo discreto. Curvas elípticas: definición, curvas sobre los complejos, sobre los racionales y sobre cuerpos finitos. Teorema de Hasse. Métodos criptográficos con curvas elípticas, algoritmos de factorización: Método de Polard y métodos de lenstra usando curvas elípticas.
Temas de Aritmética (127): Divisibilidad en Z. Algoritmo de la División. Teorema Fundamental de la Aritmética. MCD y MCM. Clases de Restos Módulo n. Teorema Chino del Resto y de Euler-Fermat. Funciones de Euler y Móebius. Teorema . Ley de Reciprocidad Cuadrática. Símbolo de Legendre. Anillo de Enteros de Gauss. Algoritmo de la División en Z(i). Enteros primos de la forma 4k+1 y 4k+3. Fracciones Continuas.
Álgebra Conmutativa (147): Raíces del álgebra conmutativa. Localización. Fracciones. La construcción de Primos. Anillos graduados. Anillos Z-graduados. Introducción a la teoría de la dimensión. Anillos locales regulares. Anillos de valoración discreta. Anillos normales y Criterio de Serre. Anillos Cohen-Macaulay.
Teoría de Galois (117): Grupos finitos. Grupos resolubles. Grupos de permutaciones, Extensiones enteras de anillos. Extensiones algebraicas y extensiones finitas de cuerpos. Extensiones trascendentes. Grupo de Galois de una extensión. Extensiones normales, Separables, de Galois. Teorema fundamental: correspondencia de Galois. Aplicaciones a ecuaciones resolubles por radicales. Construcciones con regla y compás.
Teoría de Módulos (064): Categorías. Sucesiones exactas. Categorías de módulos. Categorías y funtores. Equivalencias de categorías. Funtores Hom(-,-). Módulos proyectivos e inyectivos. Condiciones de finitud. Módulos simples y semisimples. Módulos noetherianos y artinianos.
Fractales y Embaldosados: Conjuntos simpliciales. Categorías y funtores. Equivalencias de categorías. Equivalencias de Morita. Funtores representables. Funtores adjuntos. Teorema de Watts. Resoluciones Proyectiva e inyectiva, Funtores de homología. Funtores derivados. Funtores Ext y Tor. Sucesiones exactas cortas y extensiones. Dimensiones homológicas de módulos y anillos.
Teoría de Distribuciones (119): Espacios vectoriales topológicos. Espacios de funciones de prueba: D, D(K), E, S. Los espacios de distribuciones D’, E’, S’. Cálculo con distribuciones. Soporte. Derivación. Producto multiplicativo, tensorial y de convolución. Transformada de Fourier de distribuciones. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales.
Introducción al Análisis No Estándar (087): Divisibilidad en Z. Algoritmo de la División. Teorema Fundamental de la Aritmética. MCD y MCM. Clases de Restos Módulo n. Teorema Chino del Resto y de Euler-Fermat. Funciones de Euler y Móebius. Teorema . Ley de Reciprocidad Cuadrática. Símbolo de Legendre. Anillo de Enteros de Gauss. Algoritmo de la División en Z(i). Enteros primos de la forma 4k+1 y 4k+3. Fracciones Continuas.
Análisis Armónico (149): Teoría básica en L1 para la transformada de Fourier. Teoría básica en L2 para la transformada de Fourier. Teorema de Plancherel. Propiedades básicas de funciones armónicas. La función maximal de Hardy-Littlewood y la convergencia no-tangencial de funciones armónicas. El espacio H2 El teorema de Paley-Wiener. Los espacios Hp. Descomposición de L2 en subespacios invariantes bajo la transformada de Fourier. Armónicas esféricas. Series de Fourier. Definiciones, convergencia. Integración y diferenciación. Las teorías en L1 y L2 A(T) y el teorema de inversión de Wiener. Propiedades elementales de las series múltiples de Fourier. Fórmula de sumación de Poisson. Sumabilidad bajo el índice crítico.
Variable Compleja Avanzada (150): Formas diferenciales sobre un subconjunto abierto Ω del plano complejo. Bordes regulares. Homotopía, Grupo Fundamental. Integración de 1- formas cerradas a lo largo de caminos continuos. Homología. El espacio de Frechet H(Ω). Transformaciones holomorfas. Teorema del Área. Transformaciones conformes. Teorema de runge. Teorema de Mittag-LeffIer. Ideales cerrados en H(Ω). El operador d/dz actuando sobre distribuciones. Distribuciones y su relación con la teoria de residuos. Funciones subarmónicas. Orden y tipo de funciones subarmónicas en el plano complejo. Representaciones integrales. Funciones de Green y medida armónica. Estudio elemental de singularidades y series de Dirichlet. Espacios de cubrimiento. Superficies de Riemann. Haces de gérmenes de funciones holomorfas. Sucesiones exactas de cubrimientos de Galois. Funciones algebraicas. Períodos de una forma diferencial. Ecuaciones diferenciales lineales.
Marcos y Bases de Riesz (151): Aspectos básicos de marcos. Marcos en espacios de dimensión finita: Cn, espacios funcionales de dimensión finita. Cotas y algoritmos. Transformada de Fourier discreta. Pseudoinversa. Espacios lineales de dimensión infinita. Convergencia. Representación en serie. Espacios de Hilbert. Sucesiones de Bessel. Bases. Bases ortogonales, de Riesz y duales. Marcos de trasladadas. Subespacios invariantes. Ondículas.
Sistemas Ortogonales y Ondículas (152): Procesamiento de señales. Espacios de Hilbert. L2(R) y ¬ 2(R). Bases ortonormales. Serie de Fourier. Marcos y bases de Riesz. Transformada de Fourier. Transformada Ondículas. Ondículas. Análisis de Multiresolución. Multiondículas. Ondículas no ortogonales.
Ecuaciones diferenciales II (153): Series de Fourier. Convergencia puntual. Desigualdad de Bessel. Convergencia uniforme. Identidad de Parseval, Ecuación del calor y ondas. Transformada de Fourier. Producto convolución. Fórmula de Poisson. Problema de Cauchy para la ecuación del calor. Ecuación de Laplace. Funciones representadas por integrales.
Topología Algebraica (102): Homotopía. El Grupo Fundamental. Homología singular. El teorema de Hurewicz. Sucesión larga de homología. Excisión y Mayer-Vietoris. Homología de Esferas y Aplicaciones. Complejos simpliciales. Homología simplicial. Grupos fundamentales de Poliedros. Relación con homología singular. Axiomas de Eilenberg – Steenrod.
Introducción a la Geometría Algebraica (144): Conjuntos algebraicos afines. El teorema fundamental de Hilbert. Componentes irreducibles de un conjunto algebraico. Teorema de los ceros (Nullstellensatz). Variedades afines. Anillo de coordenadas. Funciones racionales. Propiedades locales de las curvas planas. Número de intersección. Variedades proyectivas. Variedades afines y proyectivas. Curvas proyectivas planas. Teorema de Bezout. Teorema fundamental de Max Noether. Variedades y Morfismos, aplicaciones racionales. La topología de Zariski. Resolución de singularidades. El teorema de Riemman-Roch.
Álgebras de Lie (145): Álgebras de Lie. Morfismos. Subálgebras. Ideales. Cocientes. Representaciones. Derivaciones. Representación adjunta. Extensión del cuerpo de escalares. Álgebras Solubles. Álgebras Nilpotentes.
Grupos de Lie (048): Grupos de Lie. Morfismos. Álgebras de Lie. Aplicación exponencial. Representación adjunta. Grupos clásicos. Teorema de Frobenius. Subgrupos de Lie. Subgrupos cerrados. Cociente. Espacios Homogéneos.
Fundamentos de la Matemática (021): El problema de la fundamentación de las matemáticas, la crisis de los fundamentos, programa de Hilbert. Cálculo proposicional. Cálculo de predicados de 1er orden. Modelos. La incompletitud de los sistemas de 1er orden. Números cardinales y ordinales. Axioma de elección.
Historia de la Matemática (188): Matemática en Egipto antiguo. Matemática en Babilonia. Matemática en Grecia antigua y proyecciones. Evolución histórica de conceptos particulares de Cálculo; Geometría o Algebra.
Pobabilidad Avanzada y Aplicaciones a la Estadística (094): Espacios probabilístico. Variables aleatorias. Independencia. Esperanza. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias: en casi todo punto, en probabilidad, en distribución. Leyes de los Grandes Números. Esperanza condicional. Martingalas. Funciones características. Teorema Central del Límite.
Métodos Asintóticos en Estadística (120): Convergencia estocástica. Teorema Central del Límite. Comportamiento asintótico de distribuciones empíricas y estadísticos de orden. Comportamiento asintótico de estimadores y estadísticos de test.
Introducción a los Procesos Estocásticos (099): Revisión de teoría de probabilidades. Elementos de procesos estocásticos. Cadenas de Markov. Procesos markovianos de salto. Elementos de cálculo estocástico. Tópicos.
Modelos Lineales (154): Regresión lineal simple. Estimación y diagnóstico. Regresión lineal múltiple. Selección de variables. Diagnóstico. Medidas de ajuste global. Modelos lineales generalizados.
Análisis Estadístico Multivariado (063): Distribución normal multivariada. Test de Hottelling. Modelo lineal clásico. Componentes principales. Análisis discriminante.
Teoría de Algoritmos (121): Elementos de análisis de algoritmos. Diseño de algoritmos inductivos: algunos desarrollos particulares. Elementos de algoritmos geométricos básicos: algunas aplicaciones. El problema de la reducción de algoritmos. La reducción del problema y su relación con su complejidad. Reducción y generalización. Algoritmos eficientes y problemas NP- completos. Ejemplos de problemas NP-completos. Técnicas para el tratamiento de los problemas NP-completos.
Física II (034): Electrostática. Gravitación. Dieléctricos. Magnetismo en el vacío y en la asignatura. Inducción electromagnética. Corriente alterna. Oscilaciones electromagnéticas.
Mecánica (097): Principio de mínima acción. Función Lagrangiana. Integrales del movimiento. Choque, desintegración y dispersión. Oscilaciones. Cuerpo rígido. Ecuaciones de Euler. Transformaciones canónicas. Formalismo de Jacobi-Hamilton.
Métodos Numéricos II (155): Métodos en diferencias finitas. Ecuaciones parabólicas. Métodos explícitos e implícitos. Diferencias finitas en coordenadas cilíndricas y esféricas. Problemas no lineales. Convergencia estabilidad y consistencia. Método matricial y de Von Neumann. Ecuaciones hiperbólicas. Método de las características. Ecuaciones elípticas. Métodos iterativos.
Modelos Matemáticos de Dinámica de Poblaciones Biológicas Explotadas (156): Modelos discretos simples. Estados de equilibrio. Caos. Modelos continuos simples. Análisis de equilibrios y estabilidad. El concepto de rendimiento máximo sostenible. Visión crítica. El concepto de sustentabilidad biológica y el concepto de estabilidad de estados de equilibrio. Resistencia. Compensación. Depensación. Modelos estocásticos simples. Modelos con ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El modelo de McKendrich-von Foerster. Modelos predador-presa. Modelos estructurados. Reclutamiento y estado poblacional. Productividad biológica. Diagnóstico. Efectos de la explotación. Sobreexplotación. Proyecciones determinísticas y estocásticas. Estados de equilibrio y análisis de estabilidad. El análisis de rendimiento por recluta de Thompson y Bell en pesquerías. La relación entre stock parental y los reclutas, y el manejo pesquero. Análisis crítico. Riesgo biológico. Manejo de recursos naturales vivos explotados. Recuperación y conservación. Manejo adaptativo. Planificación de la explotación.
Modelos Estructurados en Biología de Poblaciones, Análisis Asintótico y de Perturbaciones (157): El ciclo de vida. Estructura de edades y de estadios. Noción de estabilidad. Diversidad de especies y medidas de estabilidad. Lyapunov y estabilidad “ecológica” en dinámica de ecosistemas. Definiciones formales. Matrices no negativas. Modelos matriciales y grafos. Propiedades de las matrices y análisis de estabilidad. Modelo matricial de Leslie. Modelos matriciales lineales y no lineales. Estructura de edades. Variables de estado. Estructura de estadios. Metapoblaciones. Dispersión. Teorema de Perron-Frobenius. Ergodicidad. Dinámica asintótica. Análisis de sensibilidad. Elasticidad. Perturbaciones. Estimación de parámetros. Incertidumbre y simulación de Monte carlo. Bootstrapping. Modelos estocásticos simples. Estabilidad en algunos modelos no matriciales, no lineales. Teorema ergódico de estabilidad. Cerca de los equilibrios: ecuaciones diferenciales. Linealización. Equilibrios globalmente estables. Estabilidad bajo perturbaciones que actúan permanentemente. Modelos denso-dependientes. Diagramas de bifurcaciones. Bifurcaciones de los equilibrios. Bifurcaciones supercríticas y subcríticas. Rutas al caos.
Introducción a las Matemáticas de las Finanzas (159): Modelos matemáticos. Elementos básicos de Finanzas. Mercados. Stock. Contratos. Riesgo y arbitraje. Procesos estocásticos. Movimiento Browniano. Filtraciones. Martingalas. Instrumentos financieros. Derivados. Precificación. Portafolio replicante. Modelos financieros. El modelo de Black & Scholes.
Modelos Matemáticos en Biología (160): Ecuaciones de diferencia lineales. Ecuaciones de diferencia no lineales. Estabilidad. Bifurcación. Ecuación de diferencia Logística. Sistemas huesped-parásito. Iteración planta-herbívoro. Evolución de modelos. Modelos Nicholson-Bailey, Kolmogorov, Lotka-Volterra. Procesos continuos. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Diagrama de fase de sistemas lineales. Modelos continuos de dinámica de población.
Ecuaciones Diferenciales en Biología (161): Modelos de población discretos. Modelos continuos. Ecuación de reacción-difusión. Difusión-transporte. Difusión-taxia. Ondas biológicas en modelos para una especie y para multi-especies. Modelos epidemiológicos. Métodos de análisis geométrico. Método de similaridad. Método espectral de Fourier. Método operacional.
Elementos de Teoría de Grafos (162): Grafos. Caminos y ciclos. Grafos conexos. Subgrafos. Isomorfismos de grafos. Tours de Euler. Algoritmo de Dijkstra. Ciclos de Hamilton. Grafos planares. Coloreo de vértices y de aristas. Árboles. Árboles generadores. Algoritmos de Primm y de Kruskal. Matching. Flujo en redes. Teorema del flujo máximo y corte mínimo.
Física III (164): Movimiento ondulatorio. Sonido. Ondas electromagnéticas. Interferencia y Difracción. Polarización. Óptica geométrica. Instrumentos ópticos. Fotometría. Teoría del color.
Programación Lineal (189): Programación lineal. Modelos. Método Simplex. Complejidad. Teoría de poliedros. Aspectos Geométricos. Dualidad. Análisis de Sensibilidad. Modelos en redes. Introducción a la Programación (lineal) entera y la Programación (lineal) 0-1.
Computación (010): Estructura general de las computadoras. Representación de datos. Procesamiento numérico y no numérico de la información. Estructuras de representación de la información. La resolución de problemas por vía algorítmica. El ciclo problema, algoritmo, programa. Conexión entre algoritmos de resolución y representación de los datos. Estudio del lenguaje Pascal como medio expresivo en el diseño de algoritmos y la estructuración de datos. Estudio de algoritmos específicos: técnicas elementales de análisis.